En Algèbre linéaire, les matrices triangulaires sont des matrices carrées dont une partie triangulaire des valeurs, délimitée par la diagonale principale, est nulle.

Matrices triangulaires supérieures

Ce sont des matrices carrées dont les valeurs sous la diagonale principale sont nulles :

A = (a i,j ) =

┌    na 1 , 1       a 1 , 2       …       …       a 1,n    ┐ │    n0       a 2 , 2                   a 2,n    │ │ │    n ⋮    .. s   .. s            ⋮   │ │ │ │    n ⋮          .. s   .. s      ⋮   │ │ │    n0       …       …       0       a n,n    │ └    n           ┘

A est triangulaire supérieure ssi :

∀ i>j, a _i,j = 0

Matrices triangulaires inférieures

Ce sont les matrices carrées dont les valeurs au-dessus de la diagonale principale sont nulles :

A = (a i,j ) =

┌    na 1 , 1       0       …       …       0   ┐ │ │    na 2 , 1       a 2 , 2    .. s            ⋮   │ │ │ │    n ⋮          .. s   .. s      ⋮   │ │ │ │    n ⋮                .. s      0   │ │ │    na n,1       a n,2       …       …       a n,n    │ └    n           ┘

A est triangulaire inférieure ssi :

∀ i<j, a _i,j = 0

Propriétés des matrices triangulaires

• Une matrice triangulaire à la fois inférieure et supérieure est une Matrice diagonale.
• Le produit de deux matrices triangulaires inférieures (resp. supérieures) est une matrice triangulaire inférieure (resp. supérieure).
• La transposée d'une matrice triangulaire supérieure est une triangulaire inférieure, et vice-versa.
• Une matrice triangulaire A est inversible si et seulement si tous ses termes diagonaux sont non nuls. Dans ce cas, son inverse est aussi une matrice triangulaire (supérieure si A était supérieure, inférieure sinon).
• Les valeurs propres d'une matrice triangulaire sont ses termes diagonaux.
• Si A est une matrice triangulaire d'ordre n alors le déterminant d'une matrice triangulaire est égal au produit de ses éléments diagonaux :

det(A) =

n Π i = 1

a i,i

Voir aussi

Matrice mathématique
par forme
carrée • triangulaire • diagonale • tridiagonale élémentaire • échelonnée • creuse • aléatoire circulante • de Hankel • de Toeplitz • de Vandermonde
transformée	en relation
transposée • adjointe inverse • Comatrice	équivalente • semblable congruente
par propriété
inversible • diagonalisable • trigonalisable symétrique • antisymétrique • hermitienne • normale orthogonale • unitaire • symplectique • de Hadamard définie positive • à diagonale dominante • nilpotente
par famille	associée
identité de De Casteljau de Cartan de Hilbert de Mueller de Pauli • de Dirac	de permutation • de passage compagnon • de Sylvester d'adjacence • laplacienne hessienne • jacobienne génératrice • de contrôle de corrélation • de Gram de variance-covariance d'inertie • de Jones des gains • stochastique
particulière
CKM
résultats
décompositions : LU • QR • polaire valeurs singulières	Trigonalisation Réduction de Jordan facteurs invariants
Voir aussi
théorie des matrices • Algèbre linéaire

• Matrice
• Matrice diagonale
• Matrice symétrique
• Trigonalisation

T